Binomische Formeln – Lernzettel

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel $a+b$ oder $a-b$. Wenn du ein solches Binom quadrierst oder zwei „gespiegelte“ Binome multiplizierst, entstehen immer dieselben Muster — genau diese Muster sind die drei binomischen Formeln. Sie müssen absolut sicher sitzen, denn alles andere baut darauf auf.

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$

Formel	Name	Ausmultipliziert	Merkmal
$(a+b{)}^2$	1. binomische Formel (Plus-Formel)	$a^2+2ab+b^2$	mittleres Glied mit +
$(a-b{)}^2$	2. binomische Formel (Minus-Formel)	$a^2-2ab+b^2$	mittleres Glied mit −
$(a+b)(a-b)$	3. binomische Formel (Plus-mal-Minus)	$a^2-b^2$	nur zwei Glieder, kein Mittelglied

• Bei der ersten und zweiten Formel entstehen immer drei Glieder: das Quadrat des ersten, das doppelte Produkt und das Quadrat des zweiten.
• Der einzige Unterschied zwischen 1. und 2. Formel ist das Vorzeichen des mittleren Gliedes ($+2ab$ oder $-2ab$).
• Bei der dritten Formel fällt das mittlere Glied weg, weil sich $+ab$ und $-ab$ gegenseitig aufheben; übrig bleibt die Differenz der beiden Quadrate.

Ausmultiplizieren bedeutet: Du löst die Klammer auf und schreibst den Term ohne Klammer. Der erste Schritt ist immer, zu erkennen, welche der drei Formeln vorliegt. Danach setzt du in das passende Muster ein.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Formel erkennen: Steht ein Quadrat mit $+$ (1. Formel), mit $-$ (2. Formel) oder ein Produkt „Plus mal Minus“ (3. Formel)?
2. $a$ und $b$ bestimmen: Was ist das erste, was das zweite Glied?
3. In die Formel einsetzen und jedes Glied berechnen.
4. Zusammenfassen und ordentlich aufschreiben.

Ausgangsklammer	passende Formel	Ergebnis
$(x+3{)}^2$	1.	$x^2+6x+9$
$(x-3{)}^2$	2.	$x^2-6x+9$
$(x+3)(x-3)$	3.	$x^2-9$

Für $a$ und $b$ darf nicht nur ein einzelner Buchstabe stehen, sondern auch ein ganzes Glied wie $2x$ oder $3ab$. Wichtig ist dann: Du musst das ganze Glied quadrieren, also Zahl und Variable. Setze das Glied deshalb beim Rechnen ruhig in eine Klammer.

• $(2x{)}^2=2^2\cdot x^2=4x^2$ — die Zahl 2 wird mit quadriert, nicht nur das $x$.
• $(3ab{)}^2=3^2\cdot a^2\cdot b^2=9a^2{b}^2$ — jeder Faktor wird quadriert.
• Beim doppelten Produkt multiplizierst du beide Glieder komplett miteinander.

Glied	quadriert	häufiger Fehler
$2x$	$4x^2$	$2x^2$ (Zahl vergessen)
$3y$	$9y^2$	$3y^2$
$3ab$	$9a^2{b}^2$	$3a{b}^2$
$\frac{1}{2}x$	$\frac{1}{4}{x}^2$	$\frac{1}{2}{x}^2$

Faktorisieren heißt, einen ausmultiplizierten Term wieder in eine Klammer (ein Produkt) zu verwandeln. Du liest die binomischen Formeln also rückwärts. Das gelingt, wenn du an einem Term die typische Struktur erkennst: zwei Quadratzahlen und dazu passend ein doppeltes Produkt.

So erkennst du die passende Rückwärtsformel:

1. Sind es drei Glieder? Prüfe, ob das erste und das letzte Glied Quadrate sind ($a^2$ und $b^2$). Passt das mittlere Glied zu $2ab$? → 1. oder 2. Formel.
2. Sind es zwei Glieder mit Minus dazwischen? Zwei Quadrate, verbunden durch ein Minuszeichen → 3. Formel: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
3. Vorzeichen prüfen: mittleres Glied $+$ → $(a+b{)}^2$, mittleres Glied $-$ → $(a-b{)}^2$.

Term	$a$	$b$	Kontrolle Mittelglied	Faktorisierung
$x^2+14x+49$	$x$	$7$	$2\cdot x\cdot 7=14x$ ✓	$(x+7{)}^2$
$x^2-8x+16$	$x$	$4$	$2\cdot x\cdot 4=8x$ ✓	$(x-4{)}^2$
$4x^2-9$	$2x$	$3$	keins (nur 2 Glieder)	$(2x+3)(2x-3)$

Oft musst du mehrere Klammern zuerst ausmultiplizieren und dann zusammenfassen. Dabei helfen dir die binomischen Formeln, jede Klammer schnell aufzulösen. Achte danach besonders auf die Vorzeichen, wenn eine Klammer subtrahiert wird.

So gehst du vor:

1. Jede Klammer einzeln mit der passenden Formel ausmultiplizieren.
2. Minuszeichen vor einer Klammer auf alle Glieder verteilen.
3. Gleichartige Glieder zusammenfassen.

Die meisten Fehler entstehen bei den Vorzeichen. Bei der 2. Formel ist nur das mittlere Glied negativ — das letzte Glied bleibt immer positiv, weil ein Quadrat nie negativ wird. Bei der 3. Formel entsteht durch $+b\cdot (-b)$ genau ein Minus, deshalb steht dort $a^2-b^2$.

Ausdruck	Ergebnis	Warum
$(a-b{)}^2$	$a^2-2ab+b^2$	$b^2$ ist positiv, denn $(-b{)}^2=+b^2$
$(a+b)(a-b)$	$a^2-b^2$	$+ab$ und $-ab$ heben sich auf, es bleibt $-b^2$
$(-a+b{)}^2$	$a^2-2ab+b^2$	gleich wie $(b-a{)}^2$

• Das letzte Glied der 1. und 2. Formel ist immer $+b^2$ — egal ob in der Klammer ein Plus oder Minus steht.
• Bei der 2. Formel ist nur das doppelte Produkt negativ.
• Bei der 3. Formel merkst du dir: Plus mal Minus ergibt Minus, daher $a^2-b^2$.

Mit den binomischen Formeln kannst du Rechnungen im Kopf lösen, die sonst schriftlich nötig wären. Der Trick: Du zerlegst eine Zahl in eine runde Zahl plus/minus einen kleinen Rest, zum Beispiel $31=30+1$. So werden aus schweren Multiplikationen leichte Quadrate.

Quadratzahlen mit der 1. oder 2. Formel:

Produkte „nah beieinander“ mit der 3. Formel:

Aufgabe	Zerlegung	Formel	Ergebnis
$21^2$	$(20+1{)}^2$	1.	$400+40+1=441$
$19^2$	$(20-1{)}^2$	2.	$400-40+1=361$
$102^2$	$(100+2{)}^2$	1.	$10000+400+4=10404$
$48\cdot 52$	$(50-2)(50+2)$	3.	$2500-4=2496$

Begriff	Definition
Ausmultiplizieren	Eine Klammer auflösen und den Term ohne Klammer schreiben.
Binom	Ein Term aus genau zwei Gliedern, z. B. $a+b$ oder $a-b$.
Binomische Formel	Eine der drei festen Formeln zum schnellen Ausmultiplizieren bzw. Faktorisieren von Binomen.
Differenz der Quadrate	Ergebnis der 3. binomischen Formel: $a^2-b^2$.
Doppeltes Produkt	Das mittlere Glied $2ab$ in der 1. und 2. Formel.
Faktorisieren	Einen Term rückwärts in ein Produkt (eine Klammer) umwandeln.
Glied	Ein durch $+$ oder $-$ abgetrennter Teil eines Terms.
Quadrieren	Mit sich selbst multiplizieren, also hoch 2 nehmen.
Term	Ein sinnvoller mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
Variable	Ein Platzhalter (Buchstabe) für eine Zahl.
Vereinfachen	Einen Term durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen kürzer schreiben.

Wie lauten die drei binomischen Formeln?

Die drei binomischen Formeln lauten: erstens $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, zweitens $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ und drittens $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Die ersten beiden unterscheiden sich nur im Vorzeichen des mittleren Gliedes. Bei der dritten Formel fällt das mittlere Glied weg, weil sich $+ab$ und $-ab$ aufheben.

Warum ist $(a+b{)}^2$ nicht gleich $a^2+b^2$?

$(a+b{)}^2$ bedeutet $(a+b)\cdot (a+b)$, und beim Ausmultiplizieren entsteht zusätzlich das doppelte Produkt $2ab$. Deshalb ist das richtige Ergebnis $a^2+2ab+b^2$. Zur Kontrolle mit Zahlen: $(2+3{)}^2=25$, während $2^2+3^2$ nur $13$ ergibt. Das zeigt, dass das mittlere Glied unbedingt dazugehört.

Wie erkenne ich, welche binomische Formel ich anwenden muss?

Du achtest auf die Struktur der Aufgabe. Steht ein Quadrat mit einem Pluszeichen in der Klammer, nimmst du die 1. Formel; steht ein Minuszeichen, die 2. Formel. Steht ein Produkt aus „Summe mal Differenz derselben Glieder“, also $(a+b)(a-b)$, verwendest du die 3. Formel. Beim Faktorisieren schaust du umgekehrt, ob zwei Quadrate und ein passendes doppeltes Produkt vorliegen.

Wie quadriere ich ein Glied wie $2x$ oder $3ab$?

Du quadrierst das ganze Glied, also Zahl und Variable zusammen. Für $2x$ gilt $(2x{)}^2=2^2\cdot x^2=4x^2$, für $3ab$ gilt $(3ab{)}^2=9a^2{b}^2$. Der häufigste Fehler ist, nur die Variable zu quadrieren und die Zahl zu vergessen. Setze das Glied deshalb sicherheitshalber in eine Klammer, bevor du quadrierst.

Was bedeutet Faktorisieren mit binomischen Formeln?

Faktorisieren heißt, einen ausmultiplizierten Term wieder in eine Klammer zu verwandeln, also die Formel rückwärts zu lesen. Aus $x^2+10x+25$ wird zum Beispiel $(x+5{)}^2$. Dazu ziehst du aus dem ersten und letzten Glied die Wurzel und prüfst, ob das doppelte Produkt genau dem mittleren Glied entspricht.

Wie faktorisiere ich $x^2-49$?

$x^2-49$ ist eine Differenz zweier Quadrate, denn $x^2=x\cdot x$ und $49=7^2$. Deshalb wendest du die 3. binomische Formel rückwärts an und erhältst $(x+7)(x-7)$. Zur Probe kannst du wieder ausmultiplizieren: $(x+7)(x-7)=x^2-49$.

Warum ist das letzte Glied bei $(a-b{)}^2$ positiv?

Das letzte Glied entsteht durch $(-b{)}^2$, und ein Quadrat ist niemals negativ, weil Minus mal Minus Plus ergibt. Deshalb ist $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ mit einem positiven $b^2$. Nur das doppelte Produkt in der Mitte ist negativ.

Wie berechne ich $31^2$ im Kopf?

Du zerlegst $31$ in $30+1$ und wendest die 1. binomische Formel an: $(30+1{)}^2=900+60+1=961$. Der Vorteil ist, dass $30^2$, das doppelte Produkt $2\cdot 30\cdot 1$ und $1^2$ im Kopf leicht zu rechnen sind. So sparst du dir die schriftliche Multiplikation.

Wie rechne ich $29\cdot 31$ geschickt?

Beide Zahlen liegen gleich weit von der runden Zahl $30$ entfernt, nämlich $30-1$ und $30+1$. Deshalb passt die 3. binomische Formel: $(30-1)(30+1)=30^2-1^2=900-1=899$. Immer wenn zwei Faktoren symmetrisch um eine runde Zahl liegen, ist die 3. Formel die schnellste Methode.

Was muss ich beim Minuszeichen vor einer Klammer beachten?

Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt das Vorzeichen jedes Gliedes in der Klammer um. Aus $-(x^2-6x+9)$ wird also $-x^2+6x-9$. Wer nur das erste Vorzeichen ändert, macht einen der häufigsten Fehler beim Vereinfachen. Verteile das Minus deshalb bewusst auf alle Glieder.