Binomische Formeln – Probe-Klassenarbeit

Teil A — Wissen

A1 (3 P) Nenne die drei binomischen Formeln vollständig.

A2 (2 P) Multipliziere aus:

$(x + 6)^{2}$
$(x - 6)^{2}$

A3 (2 P) Faktorisiere:

$x^{2} - 64$
$x^{2} + 4 x + 4$

Teil B — Anwenden und Erklären

B1 (4 P) Multipliziere aus:

$(2 x + 5)^{2}$
$(3 a - 4)^{2}$

B2 (4 P) Multipliziere aus und vereinfache, wenn möglich:

$(4 x + 3) (4 x - 3)$
$(3 ab + 2) (3 ab - 2)$

B3 (3 P) Faktorisiere so weit wie möglich:

$9 x^{2} - 25$
$x^{2} - 20 x + 100$
$16 + 8 x + x^{2}$

B4 (4 P) Vereinfache den Term $(x + 4)^{2} - (x - 4)^{2}$ . Zeige alle Rechenschritte.

Teil C — Transfer und Vertiefung

C1 (4 P) Berechne im Kopf mit einer binomischen Formel und zeige die Zerlegung:

$4 1^{2}$
$48 \cdot 52$

C2 (5 P) Die Abbildung zeigt ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ .

Ein Quadrat der Seitenlänge a + b, zerlegt in a², zweimal ab und b²

Gib den Flächeninhalt des großen Quadrats als Term $(a + b)^{2}$ an.
Bestimme den Flächeninhalt aus den vier Teilflächen und fasse zusammen.
Erkläre, welche binomische Formel diese Zeichnung veranschaulicht.

C3 (4 P) Gegeben ist der Term $(x + 3) (x - 3) + 9$ .

Multipliziere aus und vereinfache.
Erkläre, warum das Ergebnis für jedes $x$ eine Quadratzahl ist, wenn $x$ eine ganze Zahl ist.

Probe-Klassenarbeit – Lösungen

Lösung A1 (3 P)

Je richtige Formel 1 Punkt:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Lösung A2 (2 P)

$(x + 6)^{2} = x^{2} + 12 x + 36$ (1 P)
$(x - 6)^{2} = x^{2} - 12 x + 36$ (1 P)

Lösung A3 (2 P)

$x^{2} - 64 = (x + 8) (x - 8)$ (1 P)
$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ (1 P)

Lösung B1 (4 P)

$(2 x + 5)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 + 5^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$ (2 P: je 1 P für $4 x^{2}$ und für $20 x$ )
$(3 a - 4)^{2} = (3 a)^{2} - 2 \cdot 3 a \cdot 4 + 4^{2} = 9 a^{2} - 24 a + 16$ (2 P)

Lösung B2 (4 P)

$(4 x + 3) (4 x - 3) = (4 x)^{2} - 3^{2} = 16 x^{2} - 9$ (2 P)
$(3 ab + 2) (3 ab - 2) = (3 ab)^{2} - 2^{2} = 9 a^{2} b^{2} - 4$ (2 P)

Lösung B3 (3 P)

$9 x^{2} - 25 = (3 x + 5) (3 x - 5)$ (1 P)
$x^{2} - 20 x + 100 = (x - 10)^{2}$ (1 P)
$16 + 8 x + x^{2} = x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$ (1 P)

Lösung B4 (4 P)

Beide Klammern ausmultiplizieren (je 1 P): $(x + 4)^{2} - (x - 4)^{2} = (x^{2} + 8 x + 16) - (x^{2} - 8 x + 16)$ Minus auf die Klammer verteilen (1 P): $= x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} + 8 x - 16$ Zusammenfassen (1 P): $= 16 x$

Lösung C1 (4 P)

$4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$ (2 P: 1 P Zerlegung, 1 P Ergebnis)
$48 \cdot 52 = (50 - 2) (50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$ (2 P: 1 P Zerlegung, 1 P Ergebnis)

Lösung C2 (5 P)

Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist $(a + b)^{2}$ . (1 P)
Die vier Teilflächen sind $a^{2}$ , $ab$ , $ab$ und $b^{2}$ . Zusammen: $a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . (2 P)
Die Zeichnung veranschaulicht die 1. binomische Formel $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , denn die Gesamtfläche $(a + b)^{2}$ ist genauso groß wie die Summe der vier Teilflächen. (2 P)

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Lösung C3 (4 P)

$(x + 3) (x - 3) + 9 = x^{2} - 9 + 9 = x^{2}$ (2 P)
Das Ergebnis ist $x^{2}$ , also das Quadrat von $x$ . Setzt man für $x$ eine ganze Zahl ein, ist $x^{2}$ immer eine Quadratzahl (z. B. $x = 5 \Rightarrow 25$ ). (2 P)

Notenspiegel

Note	Punkte
1	32–35
2	27–31
3	21–26
4	15–20
5	8–14
6	0–7