Lineare Funktionen – Probe-Klassenarbeit

Teil A — Wissen

A1 (2 P) Nenne die Bedeutung von $m$ und $b$ in der Gleichung $y = m \cdot x + b$ .

A2 (2 P) Erkläre in einem Satz, was die Nullstelle einer Funktion ist, und gib an, welche Gleichung man dafür ansetzt.

A3 (2 P) Fülle die Wertetabelle für $f (x) = 3 x - 2$ aus.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	?	?	?	?

A4 (2 P) Entscheide, ob die Funktion $y = 4 x$ proportional ist, und begründe deine Antwort.

Teil B — Anwenden und Erklären

B1 (4 P) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte $A (2 ∣ 1)$ und $B (5 ∣ 7)$ .

B2 (5 P) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden $f (x) = 3 x - 1$ und $g (x) = - x + 7$ .

B3 (5 P) Gegeben ist die Funktion $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ .

Zeichne die Gerade mit einem Steigungsdreißeck in ein Koordinatensystem.
Berechne die Nullstelle.
Gib den y-Achsenabschnitt an.

Teil C — Transfer und Vertiefung

C1 (5 P) Zwei Handytarife stehen zur Wahl.

Stelle für Tarif A (Grundgebühr $8$ €, $0, 05$ € pro Minute) und Tarif B ( $0, 15$ € pro Minute, keine Grundgebühr) je eine Funktionsgleichung auf.
Berechne, bei wie vielen Minuten beide gleich viel kosten.
Beurteile, welcher Tarif für jemanden mit $120$ Minuten pro Monat günstiger ist.

C2 (5 P) Der Graph zeigt eine lineare Funktion.

Lies y-Achsenabschnitt und Steigung ab

Lies den y-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ ab.
Gib die Funktionsgleichung an.
Erkläre, wie man an dieser Geraden erkennt, dass sie fällt.

Probe-Klassenarbeit – Lösungen

Lösung A1 (2 P)

$m$ ist die Steigung: Sie gibt an, um wie viel $y$ zunimmt, wenn $x$ um $1$ wächst (1 P). $b$ ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert bei $x = 0$ , also der Schnittpunkt mit der y-Achse (1 P).

Lösung A2 (2 P)

Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet, dort gilt $y = 0$ (1 P). Man setzt dafür $0 = m x + b$ an und löst nach $x$ auf (1 P).

Lösung A3 (2 P)

Eingesetzt in $f (x) = 3 x - 2$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 5$	$- 2$	$1$	$4$

Alle vier Werte richtig: 2 P; bei zwei oder drei richtigen Werten: 1 P.

Lösung A4 (2 P)

Ja, die Funktion ist proportional (1 P). Begründung: Sie hat die Form $y = m x$ mit $b = 0$ , ihr Graph verläuft durch den Ursprung (1 P).

Lösung B1 (4 P)

Steigung berechnen: $m = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ (2 P). Punkt $A (2 ∣ 1)$ einsetzen: $1 = 2 \cdot 2 + b$ , also $b = 1 - 4 = - 3$ (1 P). Ergebnis: $y = 2 x - 3$ (1 P).

Lösung B2 (5 P)

Gleichsetzen: $3 x - 1 = - x + 7$ (1 P). Nach $x$ auflösen: $4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ (2 P). Einsetzen in $f$ : $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ (1 P). Schnittpunkt $S (2 ∣ 5)$ (1 P).

Lösung B3 (5 P)

Am y-Achsenabschnitt $b = 3$ den Punkt $(0 ∣ 3)$ markieren, dann mit $m = - \frac{1}{2}$ zwei nach rechts und einen nach unten zum Punkt $(2 ∣ 2)$ und Gerade zeichnen (2 P).
Nullstelle: $0 = - \frac{1}{2} x + 3 \Rightarrow \frac{1}{2} x = 3 \Rightarrow x = 6$ , also $N (6 ∣ 0)$ (2 P).
Der y-Achsenabschnitt ist $b = 3$ (1 P).

Steigungsdreieck von (0|3): 2 nach rechts (Δx = 2), 1 nach unten (Δy = −1)

Lösung C1 (5 P)

Tarif A: $y = 0, 05 x + 8$ ; Tarif B: $y = 0, 15 x$ (2 P).
Gleichsetzen: $0, 05 x + 8 = 0, 15 x \Rightarrow 8 = 0, 1 x \Rightarrow x = 80$ . Bei $80$ Minuten kosten beide gleich viel ( $12$ €) (2 P).
Bei $120$ Minuten: Tarif A $= 0, 05 \cdot 120 + 8 = 14$ €, Tarif B $= 0, 15 \cdot 120 = 18$ €. Tarif A ist günstiger (1 P).

Lösung C2 (5 P)

y-Achsenabschnitt $b = 3$ ; Steigung $m = - \frac{3}{2} = - 1, 5$ (von $(0 ∣ 3)$ zwei nach rechts, drei nach unten zu $(2 ∣ 0)$ ) (2 P).
Funktionsgleichung: $y = - 1, 5 x + 3$ (2 P).
Die Steigung ist negativ ( $m < 0$ ), deshalb fällt die Gerade von links oben nach rechts unten (1 P).

Notenspiegel

Note	Punkte
1	30–32
2	25–29
3	19–24
4	13–18
5	6–12
6	0–5