Quadratische Funktionen – Probe-Klassenarbeit

Teil A — Wissen

A1 (2 P) Nenne die drei wichtigsten Eigenschaften der Normalparabel $y = x^{2}$ .

A2 (2 P) Gib den Scheitelpunkt der Funktion $f (x) = (x - 4)^{2} + 3$ an und beschreibe, wie die Parabel gegenüber der Normalparabel verschoben ist.

A3 (2 P) Beschreibe, welche Wirkung der Faktor $a$ in $y = a \cdot x^{2}$ auf die Parabel hat.

A4 (2 P) Nenne die pq-Formel und erkläre, was die Diskriminante über die Anzahl der Nullstellen aussagt.

Teil B — Anwenden und Erklären

B1 (4 P) Bestimme durch quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt von $f (x) = x^{2} - 8 x + 11$ .

B2 (4 P) Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen mit einem jeweils geeigneten Verfahren.

$f (x) = x^{2} - 16$
$g (x) = x^{2} - 5 x$
$h (x) = x^{2} - 7 x + 12$

B3 (5 P) Gegeben ist $f (x) = (x - 2)^{2} - 9$ .

Wandle $f$ in die allgemeine Form um.
Bestimme die Nullstellen.
Gib den y-Achsenabschnitt an.

B4 (4 P) Lies aus dem Graphen die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform ab.

Scheitel und ein weiterer Punkt sind markiert

Teil C — Transfer und Vertiefung

C1 (5 P) Ein Ball wird geworfen; seine Flugbahn beschreibt $h (x) = - 0, 2 x^{2} + 1, 6 x$ mit $x$ und $h$ in Metern.

Berechne die größte Höhe des Balls.
Berechne, nach welcher Weite der Ball wieder auf dem Boden auftrifft.
Erkläre, warum die Parabel nach unten geöffnet ist.

C2 (5 P) Aus einem $24$ m langen Zaun soll ein rechteckiges Gehege gebaut werden. Eine Seite ist $x$ Meter lang.

Rechteckiges Gehege mit Umfang 24 m

Stelle die Flächenfunktion $A (x)$ auf.
Bestimme die Seitenlängen für die größte Fläche.
Gib den größten Flächeninhalt an.

C3 (5 P) Gegeben ist $f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 6$ .

Bestimme den Scheitelpunkt.
Berechne die Nullstellen.
Beurteile, ob die Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel ist, und begründe.

Probe-Klassenarbeit – Lösungen

Lösung A1 (2 P)

Die Normalparabel $y = x^{2}$ ist nach oben geöffnet, achsensymmetrisch zur y-Achse und hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung $S (0 ∣ 0)$ . (Eine Eigenschaft 0,5 P, zwei Eigenschaften 1 P, alle drei 2 P.)

Lösung A2 (2 P)

Der Scheitel ist $S (4 ∣ 3)$ (1 P). Die Parabel ist gegenüber der Normalparabel um $4$ nach rechts und um $3$ nach oben verschoben (1 P).

Lösung A3 (2 P)

Der Faktor $a$ bestimmt Öffnung und Breite: Bei $a > 0$ öffnet die Parabel nach oben, bei $a < 0$ nach unten (1 P). Bei $∣ a ∣ > 1$ wird sie schmaler, bei $0 < ∣ a ∣ < 1$ breiter (1 P).

Lösung A4 (2 P)

Die pq-Formel lautet $x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$ (1 P). Die Diskriminante entscheidet: $D > 0$ zwei Nullstellen, $D = 0$ eine, $D < 0$ keine (1 P).

Lösung B1 (4 P)

Quadratische Ergänzung mit $(\frac{8}{2})^{2} = 16$ (1 P): $f (x) = x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 11$ Binom bilden (1 P): $f (x) = (x - 4)^{2} - 5$ Zusammenfassen von $- 16 + 11 = - 5$ (1 P). Scheitel ablesen: $S (4 ∣ - 5)$ (1 P).

Lösung B2 (4 P)

$x^{2} = 16 \Rightarrow x_{1, 2} = \pm 4$ (Wurzelziehen, 1 P).
$x (x - 5) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 5$ (Faktorisieren, 1 P + 0,5 P).
pq-Formel mit $p = - 7$ , $q = 12$ : $x_{1, 2} = 3, 5 \pm 12, 25 - 12 = 3, 5 \pm 0, 5$ , also $x_{1} = 4, x_{2} = 3$ (1,5 P).

Lösung B3 (5 P)

Ausmultiplizieren: $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 - 9 = x^{2} - 4 x - 5$ (2 P).
Nullstellen mit pq-Formel ( $p = - 4$ , $q = - 5$ ): $x_{1, 2} = 2 \pm 4 + 5 = 2 \pm 3$ , also $x_{1} = 5, x_{2} = - 1$ (2 P).
y-Achsenabschnitt: $f (0) = - 5$ , also $c = - 5$ (1 P).

Lösung B4 (4 P)

Scheitel ablesen: $S (- 1 ∣ - 2)$ , also $d = - 1$ , $e = - 2$ (2 P). Punkt $P (1 ∣ 0)$ einsetzen: $0 = a (1 + 1)^{2} - 2 \Rightarrow 0 = 4 a - 2 \Rightarrow a = 0, 5$ (1 P). Ergebnis: $f (x) = 0, 5 (x + 1)^{2} - 2$ (1 P).

Lösung C1 (5 P)

Scheitel: $x_{S} = - \frac{1 , 6}{2 \cdot ( - 0 , 2 )} = 4$ , $h (4) = - 0, 2 \cdot 16 + 6, 4 = 3, 2$ m. Größte Höhe: 3,2 m (2 P).
Nullstellen: $- 0, 2 x^{2} + 1, 6 x = 0 \Rightarrow x (- 0, 2 x + 1, 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = 8$ . Auftreffweite: 8 m (2 P).
Die Parabel ist nach unten geöffnet, weil $a = - 0, 2 < 0$ ist; deshalb gibt es einen höchsten Punkt (1 P).

Lösung C2 (5 P)

Die beiden Seiten sind $x$ und $12 - x$ (halber Umfang), also $A (x) = x (12 - x) = - x^{2} + 12 x$ (2 P).
Scheitel: $x_{S} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 1 )} = 6$ ; beide Seiten sind $6$ m, das Gehege ist ein Quadrat (2 P).
$A (6) = 6 \cdot 6 = 36$ m² (1 P).

Lösung C3 (5 P)

Ausklammern von 2: $f (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 3)$ , ergänzen: $2 ((x + 2)^{2} - 1) = 2 (x + 2)^{2} - 2$ . Scheitel $S (- 2 ∣ - 2)$ (2 P).
Nullstellen: $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , pq-Formel mit $p = 4$ , $q = 3$ : $x_{1, 2} = - 2 \pm 4 - 3 = - 2 \pm 1$ , also $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$ (2 P).
Wegen $a = 2 > 1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel (1 P).

Notenspiegel

Note	Punkte
1	37–40
2	31–36
3	24–30
4	16–23
5	8–15
6	0–7