Satz des Pythagoras – Lernzettel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel (90°). Die Bezeichnung der Seiten hängt allein von der Lage zum rechten Winkel ab, nicht von der Länge. Deshalb musst du zuerst den rechten Winkel finden, bevor du die Seiten benennst.

• Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Im Bild ist das die Seite $c$.
• Die beiden Katheten sind die kürzeren Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Im Bild sind das $a$ und $b$.
• Nach der üblichen Konvention liegt der rechte Winkel bei $C$; die Seite $c$ (die Hypotenuse) liegt dem Eckpunkt $C$ gegenüber.
• Eine Seite wird immer mit dem Kleinbuchstaben des gegenüberliegenden Eckpunkts benannt: Seite $a$ liegt gegenüber von $A$.

Begriff	Lage	Besonderheit
Hypotenuse ($c$)	gegenüber dem rechten Winkel	immer die längste Seite
Kathete ($a$)	schließt den rechten Winkel ein	liegt gegenüber Eckpunkt $A$
Kathete ($b$)	schließt den rechten Winkel ein	liegt gegenüber Eckpunkt $B$

Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er lautet: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der beiden Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats.

$$a^2+b^2=c^2$$

• Die Aussage lässt sich am Flächenbild verstehen: Zeichnet man über jede Seite ein Quadrat, so passen die beiden kleinen Quadrate flächengleich in das große Quadrat: $9+16=25$.
• $a^2$ bedeutet geometrisch den Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete $a$. Deshalb heißt der Satz auch „Flächensatz“.
• Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Ohne rechten Winkel ist die Gleichung falsch.
• Aus der Grundform lassen sich alle anderen Formen durch Umstellen gewinnen (siehe Abschnitte 3 und 4).

Ist der rechte Winkel gegeben und kennst du beide Katheten $a$ und $b$, kannst du die Hypotenuse $c$ direkt berechnen. Dazu setzt du in die Grundform ein und ziehst am Ende die Wurzel.

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Schritt für Schritt:

1. Prüfe, welche Seite die Hypotenuse ist (gegenüber dem rechten Winkel).
2. Setze die beiden Kathetenlängen in $a^2+b^2=c^2$ ein.
3. Berechne die Quadrate und addiere sie.
4. Ziehe die Quadratwurzel, um $c$ zu erhalten.
5. Runde sinnvoll und schreibe die Einheit dazu.

Kennst du die Hypotenuse und eine Kathete, kannst du die fehlende Kathete berechnen. Dazu stellst du die Grundform um: Die bekannte Kathete wird subtrahiert.

$$a=\sqrt{c^2-b^2}\text{bzw.}b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Schritt für Schritt:

1. Bestimme die Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel).
2. Stelle die Formel nach der gesuchten Kathete um.
3. Setze ein und quadriere die bekannten Werte.
4. Subtrahiere und ziehe die Wurzel.

Gesucht	Formel	Rechenart
Hypotenuse $c$	$c=\sqrt{a^2+b^2}$	addieren
Kathete $a$	$a=\sqrt{c^2-b^2}$	subtrahieren
Kathete $b$	$b=\sqrt{c^2-a^2}$	subtrahieren

Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras erlaubt es, allein aus den drei Seitenlängen zu entscheiden, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Sie lautet: Gilt für die längste Seite $c$ die Gleichung $a^2+b^2=c^2$, dann ist das Dreieck rechtwinklig — und der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite.

Schritt für Schritt:

1. Ordne die Seiten der Größe nach; die längste Seite ist der Kandidat für $c$.
2. Berechne $a^2+b^2$ (die beiden kürzeren Seiten).
3. Berechne $c^2$ (die längste Seite).
4. Vergleiche: Sind beide Werte gleich, ist das Dreieck rechtwinklig, sonst nicht.

In vielen Figuren stecken versteckte rechtwinklige Dreiecke — meist entlang einer Diagonale oder einer Höhe. Der Trick ist immer derselbe: Zeichne die passende Hilfslinie ein und suche das rechtwinklige Dreieck.

• Rechteck: Die Diagonale $d$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $a$ und $b$: $d=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Quadrat: Sonderfall des Rechtecks mit $a=b$. Die Diagonale ist $d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
• Gleichschenkliges Dreieck: Die Höhe teilt es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke. Mit halber Basis $\frac{g}{2}$ und Schenkel $s$ gilt $h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{g}{2}\right)}^2}$.
• Raute: Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Aus den halben Diagonalen $\frac{e}{2}$ und $\frac{f}{2}$ berechnet man die Seitenlänge $s=\sqrt{{\left(\frac{e}{2}\right)}^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}$.

Figur	rechtwinkliges Dreieck aus	gesuchte Größe
Rechteck	Länge $a$, Breite $b$	Diagonale $d=\sqrt{a^2+b^2}$
Quadrat	Seite $a$, Seite $a$	Diagonale $d=a\sqrt{2}$
gleichschenkliges Dreieck	halbe Basis $\frac{g}{2}$, Höhe $h$	Schenkel $s=\sqrt{h^2+(\frac{g}{2}{)}^2}$
Raute	halbe Diagonalen $\frac{e}{2}$, $\frac{f}{2}$	Seite $s=\sqrt{(\frac{e}{2}{)}^2+(\frac{f}{2}{)}^2}$

Auch im Raum hilft Pythagoras — man muss ihn nur zweimal anwenden. Die Raumdiagonale eines Quaders verbindet zwei gegenüberliegende Ecken durch den Körper hindurch.

Schritt für Schritt:

1. Berechne zuerst die Flächendiagonale $d$ der Grundfläche mit $d=\sqrt{a^2+b^2}$.
2. Diese Flächendiagonale $d$ und die Höhe $c$ bilden ein neues rechtwinkliges Dreieck.
3. Die Raumdiagonale $D$ ist dessen Hypotenuse: $D=\sqrt{d^2+c^2}$.
4. Setzt man beides zusammen, ergibt sich die kompakte Formel.

$$D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

In Sachaufgaben versteckt sich der rechte Winkel oft in der Realität: eine Wand steht senkrecht zum Boden, eine Zeltstange steht senkrecht. Der wichtigste Schritt ist immer, eine Skizze mit dem rechtwinkligen Dreieck anzufertigen.

Vorgehen bei Sachaufgaben:

1. Lies den Text und fertige eine Skizze an.
2. Markiere den rechten Winkel und beschrifte die Seiten.
3. Entscheide: Suchst du die Hypotenuse (addieren) oder eine Kathete (subtrahieren)?
4. Setze in die Formel ein, rechne und runde sinnvoll.
5. Formuliere einen Antwortsatz mit Einheit.

Begriff	Definition
Diagonale	Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte einer Figur.
Flächendiagonale	Diagonale einer Seitenfläche eines Quaders.
Gleichschenkliges Dreieck	Dreieck mit zwei gleich langen Schenkeln; die Höhe zur Basis teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Hypotenuse	Längste Seite im rechtwinkligen Dreieck; liegt dem rechten Winkel gegenüber (Seite $c$).
Kathete	Eine der beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen (Seiten $a$ und $b$).
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens; $\sqrt{a^2}=a$ für $a\ge 0$.
Raumdiagonale	Strecke, die zwei gegenüberliegende Ecken eines Quaders durch den Körper verbindet: $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Raute	Viereck mit vier gleich langen Seiten; die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
Rechter Winkel	Winkel von 90°, im rechtwinkligen Dreieck durch ein Kästchen markiert.
Satz des Pythagoras	In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2+b^2=c^2$.
Umkehrung des Satzes	Gilt $a^2+b^2=c^2$, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Wie lautet der Satz des Pythagoras und wann gilt er?

Der Satz des Pythagoras lautet $a^2+b^2=c^2$. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Wichtig ist, dass $c$ dabei immer die Hypotenuse, also die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel, bezeichnet. Der Satz gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken; ohne rechten Winkel ist die Gleichung falsch.

Woran erkenne ich die Hypotenuse?

Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks und liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie wird in der Formel mit $c$ bezeichnet. Die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind die Katheten $a$ und $b$. Wenn du dir unsicher bist, suche zuerst den rechten Winkel und wähle die ihm gegenüberliegende Seite.

Wie berechne ich die Hypotenuse?

Um die Hypotenuse zu berechnen, setzt du die beiden Katheten in die Formel $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ein. Zuerst quadrierst du beide Katheten, addierst die Ergebnisse und ziehst dann die Quadratwurzel. Beispielsweise ergibt sich für $a=6$ und $b=4,5$ der Wert $c=\sqrt{36+20,25}=\sqrt{56,25}=7,5$. Das Ergebnis muss größer sein als jede Kathete, sonst hast du einen Fehler gemacht.

Wie berechne ich eine Kathete?

Eine fehlende Kathete berechnest du, indem du die Formel umstellst zu $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Du quadrierst also die Hypotenuse und die bekannte Kathete, subtrahierst und ziehst dann die Wurzel. Wichtig ist, dass von $c^2$ (dem Hypotenusenquadrat) subtrahiert wird. Für $c=13$ und $b=5$ erhält man $a=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Wie prüfe ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Man wählt die längste Seite als $c$ und prüft, ob $a^2+b^2=c^2$ gilt. Dazu berechnet man getrennt die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten und das Quadrat der längsten Seite. Stimmen beide Werte überein, ist das Dreieck rechtwinklig, andernfalls nicht. Diese Vorgehensweise nennt man die Umkehrung des Satzes von Pythagoras.

Warum gilt der Satz des Pythagoras?

Der Satz lässt sich über einen Flächenvergleich beweisen. Zeichnet man über jede Seite des rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat, so ist die Fläche der beiden Kathetenquadrate zusammen genau so groß wie die Fläche des Hypotenusenquadrats. Beim klassischen Zerlegungsbeweis legt man vier gleiche Dreiecke in ein großes Quadrat mit der Seite $a+b$; in der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seite $c$. Der Flächenvergleich liefert dann $a^2+b^2=c^2$.

Wie finde ich in einer Figur ein rechtwinkliges Dreieck?

Man zeichnet eine passende Hilfslinie ein, meist eine Diagonale oder eine Höhe. Bei einem Rechteck oder Quadrat ist die Diagonale die Hypotenuse eines Dreiecks aus den beiden Seiten. Bei einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bei der Raute stehen die halben Diagonalen senkrecht aufeinander und bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seite als Hypotenuse.

Wie berechne ich die Diagonale eines Quadrats?

Da bei einem Quadrat beide Seiten gleich lang sind ($a=b$), gilt $d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$. Man kann also entweder direkt beide Seitenquadrate addieren und die Wurzel ziehen oder die Kurzformel $d=a\sqrt{2}$ verwenden. Für $a=5$ ergibt sich $d=5\sqrt{2}\approx 7,07$. Die Diagonale ist stets länger als die Seite.

Wie berechne ich die Raumdiagonale eines Quaders?

Die Raumdiagonale eines Quaders berechnet man mit $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, wobei $a$, $b$ und $c$ die drei Kantenlängen sind. Man kann sie auch in zwei Schritten bestimmen: erst die Flächendiagonale der Grundfläche mit $d=\sqrt{a^2+b^2}$, dann die Raumdiagonale mit $D=\sqrt{d^2+c^2}$. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, da Pythagoras hier zweimal angewendet wird.

Wie gehe ich bei einer Sachaufgabe vor?

Zuerst fertige ich eine Skizze an und trage den rechten Winkel sowie die bekannten Größen ein. Dann entscheide ich, ob die gesuchte Größe die Hypotenuse (dann addieren) oder eine Kathete (dann subtrahieren) ist. Anschließend setze ich in die passende Formel ein, rechne und runde sinnvoll. Zum Schluss schreibe ich einen vollständigen Antwortsatz mit Einheit.

Wie berechne ich den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem?

Man bestimmt den waagerechten Abstand als Differenz der x-Werte und den senkrechten Abstand als Differenz der y-Werte. Diese beiden Strecken sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse. Für $P(1\mid 2)$ und $Q(7\mid 10)$ ergibt sich $\overline{PQ}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Man addiert also die Quadrate der Differenzen und zieht die Wurzel.