Brüche addieren und subtrahieren – Lernzettel

Ein Bruch besteht aus Zähler (oben) und Nenner (unten). Du kannst denselben Bruchwert auf viele Arten schreiben, indem du erweiterst oder kürzt. Beim Erweiterst und Kürzen ändert sich nur die Schreibweise, nicht der Wert des Bruchs.

• Erweitern bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.
• Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert.
• Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$$

Die folgende Figur zeigt, dass $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ genau gleich viel Fläche bedeuten — nur anders eingeteilt.

Vorgang	Was du tust	Beispiel	Wert
Erweitern	mal derselben Zahl	$\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ (mit 3)	bleibt gleich
Kürzen	geteilt durch dieselbe Zahl	$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ (durch 2)	bleibt gleich

Haben zwei Brüche denselben Nenner, ist das Rechnen besonders einfach. Der Nenner sagt, in wie viele Teile das Ganze zerlegt ist, und der bleibt beim Rechnen gleich. Du verrechnest nur die Zähler.

• Bei gleichem Nenner addierst oder subtrahierst du nur die Zähler.
• Der Nenner bleibt stehen und wird nicht verändert.
• Am Ende prüfst du immer, ob sich das Ergebnis kürzen lässt.

$$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}$$ $$\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7-3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Wenn zwei Brüche verschiedene Nenner haben, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der beste gemeinsame Nenner ist der Hauptnenner — das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner. Er ist die kleinste Zahl, die beide Nenner ohne Rest teilen.

So findest du das kgV (Vielfachen-Methode):

1. Schreibe die Vielfachen des ersten Nenners auf.
2. Schreibe die Vielfachen des zweiten Nenners auf.
3. Suche die kleinste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt.

Nenner	kgV / Hauptnenner	Warum
2 und 3	6	$6$ ist durch 2 und 3 teilbar
4 und 6	12	kleinste Zahl für 4 und 6
3 und 9	9	9 ist schon Vielfaches von 3
5 und 10	10	10 ist schon Vielfaches von 5

Verschiedene Nenner kannst du nicht direkt verrechnen — erst müssen die Brüche gleichnamig gemacht werden. Das gelingt, indem du sie auf den Hauptnenner erweiterst. Dann rechnest du wie bei gleichem Nenner weiter.

Schritt für Schritt:

1. Finde den Hauptnenner (kgV der Nenner).
2. Erweitere jeden Bruch auf diesen Hauptnenner.
3. Addiere oder subtrahiere die Zähler, der Nenner bleibt.
4. Kürze das Ergebnis, wenn möglich.

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$$

Schritt	Beispiel $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$
Hauptnenner	kgV(3, 2) = 6
Erweitern	$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$
Rechnen	$\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$
Umwandeln	$\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, zum Beispiel $2\frac{3}{4}$. Für das Rechnen wandelt man sie oft in einen unechten Bruch um (Zähler größer als Nenner). Danach kannst du wie gewohnt addieren und subtrahieren.

Gemischte Zahl → unechter Bruch: Ganze Zahl mal Nenner, plus Zähler; Nenner bleibt.

$$2\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3}{4}=\frac{11}{4}$$

Unechter Bruch → gemischte Zahl: Zähler durch Nenner teilen; Ergebnis ist die ganze Zahl, der Rest bleibt Zähler.

$$\frac{11}{4}=11:4=2\text{ Rest }3=2\frac{3}{4}$$

Gemischte Zahl	Unechter Bruch	Rechenweg
$1\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1\cdot 2+1=3$
$2\frac{3}{4}$	$\frac{11}{4}$	$2\cdot 4+3=11$
$3\frac{2}{5}$	$\frac{17}{5}$	$3\cdot 5+2=17$

Ein Ergebnis ist erst dann fertig, wenn es vollständig gekürzt ist. Das bedeutet, dass Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. Ein unvollständig gekürzter Bruch gilt oft als nicht vollständig gelöst.

So kürzt du vollständig:

1. Suche eine Zahl, durch die Zähler und Nenner teilbar sind.
2. Teile beide durch diese Zahl.
3. Wiederhole, bis kein gemeinsamer Teiler mehr da ist.

$$\frac{12}{18}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

Bruch	Gemeinsamer Teiler	Vollständig gekürzt
$\frac{4}{8}$	4	$\frac{1}{2}$
$\frac{9}{12}$	3	$\frac{3}{4}$
$\frac{10}{15}$	5	$\frac{2}{3}$
$\frac{16}{24}$	8	$\frac{2}{3}$

In Textaufgaben stecken die Brüche in der Sprache: „ein Viertel der Pizza“, „eine halbe Stunde“, „ein Drittel der Strecke“. Deine Aufgabe ist es, die Wörter in Brüche zu übersetzen und dann zu rechnen. Achte immer darauf, was das Ganze ist.

• Bei Pizza/Kuchen ist das Ganze eine Pizza = $\frac{8}{8}$ oder $1$; die Stücke sind Bruchteile.
• Bei Zeit ist eine Stunde das Ganze; $\frac{1}{2}$ Stunde = 30 min, $\frac{1}{4}$ Stunde = 15 min.
• Bei Strecken ist der ganze Weg das Ganze; man addiert die zurückgelegten Bruchteile.

Begriff	Definition
Erweitern	Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert; der Wert bleibt gleich.
Gemischte Zahl	Zahl aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, z. B. $2\frac{3}{4}$.
Gleichnamig	Zwei oder mehr Brüche haben denselben Nenner.
Hauptnenner	Der gemeinsame Nenner, den man zum Rechnen nutzt; meist das kgV der Nenner.
Kürzen	Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert; der Wert bleibt gleich.
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)	Die kleinste Zahl, die durch beide Nenner ohne Rest teilbar ist.
Nenner	Die Zahl unter dem Bruchstrich; sie gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt ist.
Unechter Bruch	Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, z. B. $\frac{11}{4}$.
Vollständig gekürzt	Zähler und Nenner haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr.
Zähler	Die Zahl über dem Bruchstrich; sie gibt an, wie viele Teile gemeint sind.

Was bedeutet es, einen Bruch zu erweitern?

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert, nur die Schreibweise wird feiner. So wird zum Beispiel $\frac{2}{3}$ mit 4 erweitert zu $\frac{8}{12}$. Erweitern brauchst du vor allem, um Brüche gleichnamig zu machen.

Wie addiere ich Brüche mit gleichem Nenner?

Bei gleichem Nenner addierst du nur die Zähler, während der Nenner unverändert stehen bleibt. Der Nenner sagt ja, in wie viele Teile das Ganze geteilt ist, und das ändert sich beim Addieren nicht. Zum Beispiel ist $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$. Zum Schluss prüfst du immer, ob sich das Ergebnis kürzen lässt.

Wie finde ich den Hauptnenner?

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner. Du schreibst die Vielfachen beider Nenner auf und suchst die kleinste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. Für 4 und 6 sind das die Vielfachen 4, 8, 12 … und 6, 12 …, also ist 12 der Hauptnenner. Ist ein Nenner schon Vielfaches des anderen, ist der größere Nenner der Hauptnenner.

Warum darf ich Brüche mit verschiedenen Nennern nicht direkt addieren?

Weil die Brüche verschieden große Teile beschreiben und man nur gleich große Teile zusammenzählen kann. Ein Viertel und ein Sechstel sind unterschiedlich groß, deshalb müssen die Brüche zuerst auf den Hauptnenner erweitert werden. Erst wenn beide gleichnamig sind, addiert man die Zähler. Man addiert dabei niemals die Nenner.

Wie wandle ich eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um?

Du rechnest ganze Zahl mal Nenner plus Zähler, und der Nenner bleibt gleich. Bei $2\frac{3}{4}$ rechnest du also $2\cdot 4+3=11$ und erhältst $\frac{11}{4}$. Diese Umwandlung hilft, weil man mit unechten Brüchen leichter rechnet. Das Endergebnis schreibt man dann oft wieder als gemischte Zahl.

Wie wandle ich einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um?

Du teilst den Zähler durch den Nenner mit Rest. Das Ergebnis der Division ist die ganze Zahl, der Rest wird der neue Zähler, und der Nenner bleibt. Zum Beispiel ist $\frac{11}{4}=11:4=2$ Rest $3$, also $2\frac{3}{4}$. So machst du große Ergebnisse übersichtlicher.

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt?

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. Solange es noch eine Zahl gibt, durch die beide teilbar sind, kürzt man weiter. Zum Beispiel ist $\frac{12}{18}$ noch nicht fertig, denn es lässt sich zu $\frac{2}{3}$ kürzen. Ein vollständig gekürztes Ergebnis gehört zu jeder sauberen Lösung.

Darf ich in einer Summe wie $\frac{2+3}{4}$ die Zahlen einzeln kürzen?

Nein, das ist ein häufiger Fehler. Kürzen ist nur bei Faktoren erlaubt, nicht bei einzelnen Summanden. In $\frac{2+3}{4}$ steht oben eine Summe, deshalb rechnet man zuerst $2+3=5$ und erhält $\frac{5}{4}$. Erst danach prüft man, ob sich der ganze Bruch kürzen lässt.

Wie gehe ich bei einer Textaufgabe vor?

Zuerst übersetzt du die Wörter in einen Bruchterm und überlegst, was das Ganze ist. Dann bringst du die Brüche auf den Hauptnenner und rechnest. Zum Schluss kürzt du das Ergebnis und schreibst einen vollständigen Antwortsatz. So verlierst du keinen Zwischenschritt und beantwortest genau die Frage.

Wie rechne ich $\frac{1}{2}$ Stunde in Minuten um?

Eine Stunde hat 60 Minuten, also ist $\frac{1}{2}$ Stunde die Hälfte davon, nämlich 30 Minuten. Für andere Brüche teilst du 60 durch den Nenner und multiplizierst mit dem Zähler. So sind $\frac{1}{4}$ Stunde 15 Minuten und $\frac{5}{6}$ Stunde 50 Minuten. Diese Umrechnung brauchst du bei allen Zeit-Aufgaben.