Schriftliche Multiplikation und Division

Ist der zweite Faktor mehrstellig, multiplizierst du die erste Zahl nacheinander mit jeder Ziffer des zweiten Faktors. So entstehen mehrere Zwischenergebnisse (Teilprodukte), die du am Ende zusammenzählst. Wichtig ist, dass jedes Teilprodukt an der richtigen Stelle steht.

Schritt-für-Schritt am Beispiel $324\cdot 23$:

• Schritt 1: Multipliziere $324\cdot 3=972$ (Einer-Teilprodukt).
• Schritt 2: Multipliziere $324\cdot 2=648$ (Zehner-Teilprodukt) und rücke es eine Stelle nach links.
• Schritt 3: Addiere die Teilprodukte: $972+6480=7452$.

$$324\cdot 23=7452$$

Die Teilprodukte stehen stellenrichtig untereinander, das Zehner-Teilprodukt um eine Stelle nach links gerückt:

    3 2 4 · 2 3
    ───────────
        9 7 2      ← 324 · 3
      6 4 8        ← 324 · 2, eine Stelle nach links
    ───────────
      7 4 5 2

Rechenschritt	Teilprodukt	so wird es geschrieben
$324\cdot 3$ (Einer)	$972$	rechtsbündig
$324\cdot 2$ (Zehner)	$648$	um eine Stelle nach links
Addition	$972+6480$	$=7452$

Wenn eine Zahl auf Nullen endet, kannst du dir Arbeit sparen. Du streichst die Nullen weg, multiplizierst nur die vorderen Ziffern und hängst am Schluss alle Nullen wieder an. Das funktioniert, weil das Multiplizieren mit $10$, $100$ oder $1000$ die Zahl nur um Stellen nach links verschiebt.

• Bei $\cdot 10$ hängst du eine Null an.
• Bei $\cdot 100$ hängst du zwei Nullen an.
• Bei $\cdot 1000$ hängst du drei Nullen an.
• Stehen bei beiden Faktoren Nullen am Ende, zählst du alle Nullen zusammen und hängst sie an.

Aufgabe	ohne Nullen rechnen	Nullen anhängen	Ergebnis
$7\cdot 100$	$7$	$+2$ Nullen	$700$
$60\cdot 40$	$6\cdot 4=24$	$+2$ Nullen	$2400$
$300\cdot 20$	$3\cdot 2=6$	$+3$ Nullen	$6000$
$1200\cdot 30$	$12\cdot 3=36$	$+3$ Nullen	$36000$

Beim schriftlichen Dividieren arbeitest du von links nach rechts — genau umgekehrt wie bei der Multiplikation. Du fragst bei jeder Stelle: „Wie oft passt der Divisor hinein?“, schreibst das Ergebnis oben hin, ziehst ab und holst die nächste Ziffer herunter.

Fachbegriffe: In $84:4=21$ ist $84$ der Dividend, $4$ der Divisor und $21$ der Quotient.

Schritt-für-Schritt am Beispiel $936:4$:

• Schritt 1: $9:4=2$, Rest $1$. Schreibe $2$ oben.
• Schritt 2: Hole die $3$ herunter → $13:4=3$, Rest $1$. Schreibe $3$.
• Schritt 3: Hole die $6$ herunter → $16:4=4$, Rest $0$. Schreibe $4$.
• Ergebnis: $936:4=234$.

$$936:4=234$$

Geschrieben — teilen, malnehmen, abziehen, herunterholen:

  9 3 6 : 4 = 2 3 4
- 8
  ─
  1 3
- 1 2
  ───
    1 6
  - 1 6
    ───
      0

Der Ablauf ist derselbe wie beim einstelligen Divisor, nur musst du bei jedem Schritt schätzen, wie oft die zweistellige Zahl hineinpasst. Dafür hilft dir der Überschlag: Runde den Divisor, um die passende Ziffer zu finden.

Schritt-für-Schritt am Beispiel $754:13$:

• Schritt 1: $75:13\approx 5$ (denn $13\cdot 5=65$). Schreibe $5$, ziehe ab: $75-65=10$.
• Schritt 2: Hole die $4$ herunter → $104:13=8$ (denn $13\cdot 8=104$). Schreibe $8$, Rest $0$.
• Ergebnis: $754:13=58$.

$$754:13=58$$

  7 5 4 : 13 = 5 8
- 6 5
  ───
  1 0 4
- 1 0 4
  ─────
      0

Divisor runden auf	Beispiel-Schätzung	Kontrolle
$13\approx 10$	passt etwa $7$-mal in $75$?	$13\cdot 7=91$ zu groß, $13\cdot 6=78$ zu groß, $13\cdot 5=65$ passt
$19\approx 20$	passt etwa $2$-mal in $50$?	$19\cdot 2=38$, passt
$48\approx 50$	passt etwa $3$-mal in $150$?	$48\cdot 3=144$, passt

Nicht jede Division geht glatt auf. Bleibt am Ende eine Zahl übrig, die kleiner als der Divisor ist, nennt man sie den Rest. Du schreibst ihn mit „Rest“ hinter das Ergebnis.

Schritt-für-Schritt am Beispiel $47:6$:

• Schritt 1: $47:6=7$, denn $6\cdot 7=42$.
• Schritt 2: Ziehe ab: $47-42=5$.
• Schritt 3: $5$ ist kleiner als $6$ → das ist der Rest.
• Ergebnis: $47:6=7\text{ Rest }5$.

Die Probe bei Division mit Rest lautet:

$$\text{Quotient}\cdot \text{Divisor}+\text{Rest}=\text{Dividend}$$ $$7\cdot 6+5=42+5=47✓$$

Aufgabe	Ergebnis	Probe
$47:6$	$7$ Rest $5$	$7\cdot 6+5=47$
$100:8$	$12$ Rest $4$	$12\cdot 8+4=100$
$85:9$	$9$ Rest $4$	$9\cdot 9+4=85$

Der Überschlag ist eine schnelle Schätzung mit gerundeten Zahlen. Er sagt dir vor dem genauen Rechnen ungefähr, wie groß das Ergebnis sein muss — so erkennst du grobe Fehler sofort. Die Probe ist eine Gegenrechnung, die dein genaues Ergebnis bestätigt.

So machst du einen Überschlag:

• Runde beide Zahlen auf glatte Werte (Zehner, Hunderter).
• Rechne mit den gerundeten Zahlen im Kopf.
• Vergleiche das Überschlagsergebnis mit deinem genauen Ergebnis.

Rechenart	Probe (Gegenrechnung)	Beispiel
Multiplikation	mit Division prüfen	$324\cdot 23=7452$ → $7452:23=324$
Division (glatt)	mit Multiplikation prüfen	$936:4=234$ → $234\cdot 4=936$
Division mit Rest	$\text{Quotient}\cdot \text{Divisor}+\text{Rest}$	$47:6=7$ R $5$ → $7\cdot 6+5=47$

Bei Sachaufgaben musst du zuerst erkennen, welche Rechenart gefragt ist. Multiplikation brauchst du beim „Vervielfachen“ (viele gleiche Teile zusammen), Division beim „Aufteilen“ oder „Verteilen“ und bei der Frage „Wie oft passt … in …?“.

So gehst du bei jeder Sachaufgabe vor:

• Schritt 1: Lies genau und schreibe heraus, was gegeben ist und was gesucht wird.
• Schritt 2: Entscheide dich für die Rechenart (mal oder geteilt).
• Schritt 3: Rechne schriftlich und mache einen Überschlag zur Kontrolle.
• Schritt 4: Schreibe einen Antwortsatz mit Einheit.

Signalwörter	Rechenart	Beispiel
„insgesamt“, „jeweils … zusammen“, „pro Stück … Preis“	Multiplikation	24 Hefte zu je 3 € → $24\cdot 3=72$ €
„gerecht verteilen“, „auf … aufteilen“	Division	72 € auf 8 Kinder → $72:8=9$ €
„Wie oft passt … in …?“	Division	Wie oft passt 6 in 48? → $48:6=8$

Begriff	Definition
Dividend	Die Zahl, die geteilt wird (steht bei $84:4$ vorne).
Division	Das Teilen bzw. Aufteilen einer Zahl in gleich große Teile.
Divisor	Die Zahl, durch die geteilt wird (steht bei $84:4$ hinten).
Faktor	Eine der Zahlen, die bei der Multiplikation malgenommen werden.
Multiplikation	Das Malnehmen (Vervielfachen) von Zahlen.
Produkt	Das Ergebnis einer Multiplikation.
Probe	Gegenrechnung, die ein Ergebnis bestätigt.
Quotient	Das Ergebnis einer Division.
Rest	Der Teil, der bei einer nicht aufgehenden Division übrig bleibt; immer kleiner als der Divisor.
Teilprodukt	Zwischenergebnis beim Multiplizieren mit einem mehrstelligen Faktor.
Überschlag	Schnelle Schätzung des Ergebnisses mit gerundeten Zahlen.
Übertrag	Die Zahl, die man beim Rechnen in die nächste Stelle weitergibt.

In welche Richtung rechnet man bei der schriftlichen Multiplikation und bei der Division?

Bei der schriftlichen Multiplikation rechnest du von rechts nach links, also bei den Einern beginnend. Bei der schriftlichen Division rechnest du dagegen von links nach rechts, also bei der höchsten Stelle beginnend. Diese unterschiedliche Richtung ist wichtig, weil du bei der Multiplikation Überträge nach links weitergibst und bei der Division die Ziffern nach rechts herunterholst. Wer die Richtungen verwechselt, bekommt fast immer ein falsches Ergebnis.

Was ist ein Übertrag und warum darf man ihn nicht vergessen?

Ein Übertrag ist die Zahl, die entsteht, wenn ein Zwischenergebnis größer als $9$ ist, und die du in die nächste Stelle weitergibst. Zum Beispiel merkst du bei $6\cdot 3=18$ den Übertrag $1$. Diesen Übertrag musst du beim nächsten Rechenschritt unbedingt dazuaddieren. Vergisst du ihn, ist das Ergebnis um Zehner, Hunderter oder mehr zu klein.

Wie multipliziert man schnell mit Nullen am Ende?

Du streichst zunächst alle Endnullen weg und multiplizierst nur die vorderen Ziffern. Danach zählst du alle Nullen beider Faktoren zusammen und hängst genau so viele wieder an das Ergebnis an. Bei $250\cdot 400$ rechnest du also $25\cdot 4=100$ und hängst $3$ Nullen an, was $100000$ ergibt. Das spart viel Rechenarbeit und ist weniger fehleranfällig.

Warum muss man beim mehrstelligen Faktor die Teilprodukte verschieben?

Jedes Teilprodukt gehört zu einer bestimmten Stelle des zweiten Faktors. Multiplizierst du mit der Zehnerziffer, rechnest du in Wirklichkeit mit Zehnern, deshalb rückt dieses Teilprodukt eine Stelle nach links. Bei der Hunderterziffer sind es zwei Stellen nach links. Nur wenn die Teilprodukte richtig eingerückt sind, ergibt ihre Summe das korrekte Produkt.

Wie geht man vor, wenn die Teilzahl kleiner als der Divisor ist?

Ist die aktuelle Teilzahl — der Rest zusammen mit der heruntergeholten Ziffer — kleiner als der Divisor, passt er nullmal hinein: Du schreibst eine $0$ ins Ergebnis und holst die nächste Ziffer dazu. Erst dann teilst du weiter. Zum Beispiel passt bei $612:6$ die $6$ einmal in die $6$; die heruntergeholte $1$ ist kleiner als $6$, also schreibst du eine $0$. Mit der nächsten Ziffer entsteht $12$, und $12:6=2$, also $612:6=102$. Diese Null im Ergebnis darf niemals vergessen werden, sonst wird das Ergebnis viel zu klein.

Was ist der Rest und wie groß darf er höchstens sein?

Der Rest ist der Teil, der bei einer nicht aufgehenden Division übrig bleibt. Er ist immer kleiner als der Divisor, denn sonst würde der Divisor noch einmal hineinpassen. Bei $47:6=7$ Rest $5$ ist der Rest $5$ und damit kleiner als der Divisor $6$. Ist dein Rest gleich groß oder größer als der Divisor, hast du dich verrechnet.

Wie prüft man eine Division mit Rest?

Die Probe für eine Division mit Rest lautet: $\text{Quotient}\cdot \text{Divisor}+\text{Rest}$. Das Ergebnis dieser Rechnung muss wieder genau der Dividend sein. Bei $47:6=7$ Rest $5$ rechnest du $7\cdot 6+5=47$ und bestätigst so dein Ergebnis. Stimmt die Zahl nicht überein, ist irgendwo ein Fehler.

Was ist der Unterschied zwischen Überschlag und Probe?

Der Überschlag ist eine schnelle Schätzung vor dem Rechnen mit gerundeten Zahlen, damit du weißt, wie groß das Ergebnis ungefähr sein muss. Die Probe dagegen ist eine Gegenrechnung nach dem Rechnen, die dein genaues Ergebnis bestätigt. Der Überschlag warnt vor groben Fehlern, die Probe sichert das Ergebnis endgültig ab. Beide zusammen machen dein Ergebnis besonders zuverlässig.

Wie prüft man eine Multiplikation mit der Probe?

Multiplikation und Division sind Umkehrrechnungen, deshalb prüfst du ein Produkt mit einer Division. Hast du $324\cdot 23=7452$ gerechnet, teilst du $7452:23$ und musst wieder $324$ herausbekommen. Kommt der ursprüngliche Faktor heraus, ist die Multiplikation richtig. So kannst du dich selbst kontrollieren, ohne die Aufgabe noch einmal genau gleich zu rechnen.

Woran erkennt man in einer Sachaufgabe, ob man malnehmen oder teilen muss?

Achte auf die Signalwörter: „insgesamt“, „pro Stück“ oder „jeweils … zusammen“ deuten auf Multiplikation hin, weil viele gleiche Teile zusammengefasst werden. „Verteilen“, „aufteilen“ oder „Wie oft passt … in …?“ deuten auf Division hin, weil eine Menge in gleiche Teile zerlegt wird. Am Ende schreibst du immer einen Antwortsatz mit Einheit, damit klar ist, was das Ergebnis bedeutet.