Rationale Zahlen

Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null auf der Zahlengeraden an. Weil ein Abstand nie negativ sein kann, ist der Betrag immer positiv oder null. Man schreibt ihn mit senkrechten Strichen, zum Beispiel $|-4|=4$. Die Gegenzahl einer Zahl erhält man, indem man ihr Vorzeichen umdreht.

• Der Betrag von $+5$ und der Betrag von $-5$ sind beide gleich $5$, weil beide Zahlen den Abstand 5 zur Null haben.
• Die Gegenzahl von $0$ ist wieder $0$, denn die Null liegt genau auf dem Nullpunkt.
• Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer denselben Betrag.
• Addierst du eine Zahl und ihre Gegenzahl, kommt stets $0$ heraus, zum Beispiel $6+(-6)=0$.

Zahl	Betrag	Gegenzahl
$+8$	$8$	$-8$
$-3$	$3$	$+3$
$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$+\frac{1}{2}$
$0$	$0$	$0$
$2,5$	$2,5$	$-2,5$

Beim Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen kommt es auf die Vorzeichen an. Am sichersten stellst du dir Bewegungen auf der Zahlengeraden vor: Wandle eine Subtraktion zuerst in die Addition der Gegenzahl um. Beim Addieren einer positiven Zahl gehst du nach rechts, beim Addieren einer negativen Zahl nach links. Zum Beispiel bedeutet $5+(-9)$: von $5$ aus neun Schritte nach links, du landest bei $-4$. Wichtig sind zwei Regeln zum Auflösen von Klammern.

So gehst du beim Addieren vor:

1. Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, addiere die Beträge und behalte das gemeinsame Vorzeichen: $-4+(-3)=-7$.
2. Haben beide Zahlen verschiedene Vorzeichen, subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren; das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag: $-8+5=-3$.
3. Bei einer Subtraktion wandelst du zuerst „minus“ in „plus die Gegenzahl“ um: $3-7=3+(-7)=-4$.

Rechnung	Umgeformt	Ergebnis
$-4+(-3)$	$-4-3$	$-7$
$-4-(-3)$	$-4+3$	$-1$
$7+(-10)$	$7-10$	$-3$
$7-(-10)$	$7+10$	$17$

Beim Multiplizieren und Dividieren rechnest du zuerst mit den Beträgen (wie mit ganz normalen Zahlen) und bestimmst dann das Vorzeichen des Ergebnisses. Für das Vorzeichen gilt eine einfache Regel, die für Mal und Geteilt gleich ist.

• Merke dir kurz: „plus mal plus = plus, minus mal minus = plus, gemischt = minus“.
• Dieselbe Regel gilt beim Teilen: $-20:(-4)=+5$ und $-20:4=-5$.
• Bei mehreren Faktoren zählst du die Minuszeichen: Eine gerade Anzahl Minuszeichen ergibt ein positives, eine ungerade Anzahl ein negatives Ergebnis.
• Multiplizierst du eine Zahl mit $0$, ist das Ergebnis immer $0$.

Rechnung	Vorzeichen	Ergebnis
$(+6)\cdot (+7)$	gleich → $+$	$42$
$(-6)\cdot (-7)$	gleich → $+$	$42$
$(-6)\cdot (+7)$	verschieden → $-$	$-42$
$(+48):(-8)$	verschieden → $-$	$-6$
$(-48):(-8)$	gleich → $+$	$6$

Die Vorzeichenregeln aus den Abschnitten 3 und 4 gelten genauso für Brüche und Dezimalzahlen. Du musst nur zusätzlich die üblichen Bruch- und Kommaregeln beachten: Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen brauchst du einen gemeinsamen Nenner, beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Brüche addieren/subtrahieren mit Vorzeichen:

1. Bringe beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
2. Beachte die Rechenzeichen und addiere die vorzeichenbehafteten Zähler nach den Regeln aus Kapitel 3.
3. Rechne die Zähler zusammen und kürze am Ende, wenn möglich.

Rechnung	Ergebnis
$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{3}{5}:\frac{3}{10}$	$-2$
$-2,5-1,5$	$-4$
$(-1,2)\cdot 3$	$-3,6$

Mit den Rechengesetzen kannst du geschickt umsortieren und dir viel Arbeit sparen. Wichtig sind das Kommutativgesetz (Vertauschen), das Assoziativgesetz (Umklammern) und das Distributivgesetz (Ausmultiplizieren und Ausklammern). Sie gelten auch mit negativen Zahlen.

• Suche beim Addieren gezielt Paare, die sich zu runden Zahlen ergänzen, und rechne sie zuerst zusammen.
• Beim Distributivgesetz kannst du eine Zahl ausklammern, wenn sie in mehreren Summanden steckt: $7\cdot 13+7\cdot 7=7\cdot (13+7)=7\cdot 20=140$.
• Ein Minus vor der Klammer dreht beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer um.
• Geschicktes Umsortieren und Ausklammern sind Hilfen, keine Pflicht: Du darfst auch den üblichen Rechenweg wählen. Dabei gelten weiterhin Klammern zuerst und Punkt- vor Strichrechnung; gleichrangige Rechenarten rechnest du von links nach rechts.

In Sachaufgaben stecken rationale Zahlen oft versteckt: Ein Minusbetrag auf dem Konto sind Schulden, eine Temperatur unter null ist negativ, eine Höhe unter dem Meeresspiegel bekommt ein Minuszeichen. Du übersetzt den Text in eine Rechnung, achtest auf die Vorzeichen und schreibst am Ende einen Antwortsatz.

Situation	Positiv bedeutet …	Negativ bedeutet …
Temperatur	über 0 °C (warm)	unter 0 °C (Frost)
Kontostand	Guthaben	Schulden / Minus
Höhe	über dem Meeresspiegel	unter dem Meeresspiegel

So löst du eine Sachaufgabe:

1. Lies den Text und ordne jeder Angabe das richtige Vorzeichen zu.
2. Schreibe die passende Rechnung auf (meist „Endwert $-$ Anfangswert“).
3. Rechne mit den Vorzeichenregeln aus.
4. Formuliere einen Antwortsatz mit Einheit.

Begriff	Definition
Assoziativgesetz	Rechengesetz, das erlaubt, Summanden (oder Faktoren) beliebig umzuklammern: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
Betrag	Abstand einer Zahl zur Null auf der Zahlengeraden; immer positiv oder null, geschrieben mit $||$.
Dezimalzahl	Zahl mit Komma, z. B. $-3,5$; kann positiv oder negativ sein.
Distributivgesetz	Rechengesetz zum Aus- und Einklammern: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Gegenzahl	Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen; die Gegenzahl von $-7$ ist $+7$.
Kommutativgesetz	Rechengesetz, das erlaubt, Summanden (oder Faktoren) zu vertauschen: $a+b=b+a$.
Nenner	Untere Zahl eines Bruchs; gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt ist.
Negative Zahl	Zahl kleiner als null, links vom Nullpunkt der Zahlengeraden.
Positive Zahl	Zahl größer als null, rechts vom Nullpunkt der Zahlengeraden.
Rationale Zahl	Zahl, die sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben lässt, mit Vorzeichen.
Vorzeichen	Das $+$ oder $-$ vor einer Zahl, das angibt, ob sie positiv oder negativ ist.
Vorzeichenregel	Regel für Mal und Geteilt: gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Minus.
Zahlengerade	Gerade mit Nullpunkt, auf der alle rationalen Zahlen der Größe nach angeordnet sind.

Welche Zahl ist größer: $-8$ oder $-3$?

$-3$ ist größer als $-8$. Auf der Zahlengeraden liegt $-3$ weiter rechts als $-8$, und weiter rechts bedeutet immer größer. Zwar ist die Zahl 8 größer als 3, doch bei negativen Zahlen dreht sich die Reihenfolge um: Je näher eine negative Zahl an der Null liegt, desto größer ist sie. Man schreibt also $-8<-3$.

Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Gegenzahl?

Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an und ist immer positiv oder null, zum Beispiel $|-5|=5$. Die Gegenzahl entsteht dagegen, indem man nur das Vorzeichen umdreht, also ist die Gegenzahl von $-5$ gleich $+5$ und die Gegenzahl von $+5$ gleich $-5$. Der Betrag macht also immer positiv, während die Gegenzahl die Zahl an der Null spiegelt. Beide haben aber denselben Zahlenwert ohne Vorzeichen.

Wie löst man eine Klammer mit einem Minus davor auf?

Steht vor einer Klammer ein Minus, dreht sich beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer um. Aus einem Plus wird ein Minus und aus einem Minus ein Plus. Zum Beispiel gilt $12-(5-8)=12-5+8=15$. Der Grund ist, dass das Minus wie eine Multiplikation mit $-1$ auf alle Summanden wirkt.

Was ergibt „minus mal minus“?

Minus mal minus ergibt plus. Nach der Vorzeichenregel ergeben gleiche Vorzeichen immer ein positives Ergebnis, also ist zum Beispiel $(-4)\cdot (-3)=+12$. Diese Regel gilt genauso beim Dividieren: $(-12):(-3)=+4$. Nur bei verschiedenen Vorzeichen wird das Ergebnis negativ.

Wie bestimmt man das Vorzeichen bei mehreren Faktoren?

Man zählt die Anzahl der Minuszeichen. Ist die Anzahl gerade, ist das Ergebnis positiv; ist sie ungerade, ist das Ergebnis negativ. Zum Beispiel hat $(-2)\cdot (-1)\cdot (-3)$ drei Minuszeichen, also ist das Ergebnis $-6$ (negativ). Danach multipliziert man einfach die Beträge miteinander.

Wie addiert man zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen?

Man subtrahiert den kleineren Betrag vom größeren und gibt dem Ergebnis das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Bei $-8+5$ ist der größere Betrag 8 (von $-8$), also ist das Ergebnis negativ: $-8+5=-3$. So verrechnet man das „Nach-rechts-Gehen“ mit dem „Nach-links-Gehen“ auf der Zahlengeraden.

Wie berechnet man einen Temperaturunterschied?

Eine Änderung rechnet man als „Endwert minus Anfangswert“. Steigt die Temperatur von $-6\text{°C}$ auf $+4\text{°C}$, rechnet man $4-(-6)=4+6=10$, also 10 °C Anstieg. Ein positives Ergebnis bedeutet, dass es wärmer geworden ist, ein negatives, dass es kälter geworden ist. Zum Schluss gehört immer ein Antwortsatz mit der Einheit dazu.

Was bedeutet ein negativer Kontostand?

Ein negativer Kontostand bedeutet Schulden, also dass man mehr Geld ausgegeben hat, als vorhanden war. Steht auf dem Konto $-120$ € und kommen $200$ € dazu, rechnet man $-120+200=80$, also ein Guthaben von 80 €. Solange das Ergebnis negativ bleibt, ist das Konto im Minus.

Wie kann man mit Rechengesetzen Zeit sparen?

Man sortiert die Zahlen mit dem Kommutativgesetz so um, dass zuerst Paare mit runden Ergebnissen entstehen. Bei $-17+25+(-3)$ fasst man $-17$ und $-3$ zu $-20$ zusammen und rechnet dann $-20+25=5$. Auch das Distributivgesetz spart Arbeit, indem man einen gemeinsamen Faktor ausklammert. Diese Umformungen sind erlaubte Hilfen, aber keine Pflicht.

Wie multipliziert man Brüche mit Vorzeichen?

Zuerst bestimmt man das Vorzeichen des Ergebnisses mit der Vorzeichenregel, dann multipliziert man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Bei $-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$ ergeben verschiedene Vorzeichen ein Minus, und $\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, also insgesamt $-\frac{2}{5}$. Am Ende kürzt man das Ergebnis, wenn möglich.